一、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

1、设f(x)在x=a处可导且f'(a)≠0，则 ________。

2、微分方程y' tanx－y=5的通解是__________。

3、设，则 _____________。

4、设A*是3阶可逆矩阵A的伴随矩阵，A=A=     ，则(A*)－1=___________。

5、设（X，Y）是二维正态随机变量，且X和Y不相关，E(X)=0,D(X)=1,E(Y)=D(Y)=1，则P{3X+2Y≤2}=_____。

6、设X₁，X₂，…，X_n是来自正态总体X~N（ ）的简单随机样本，则p1=P{X>1}的矩估计量_______。

二、选择题。（本题共6小题，每小题4分，共24分）

　1、判别级数的敛散性：（ ）

　A．绝对收敛 　　B．条件收敛 　　C．发散 　　D．无从判断

　2、若连续函数满足关系式，则等于（ ）

　A． B． 　　　　C． 　　　　　D．

　3、设函数，则当时，f(x)是g(x)的（ ）

　A．低阶无穷小 　　B．高阶无穷小 　　C．等价无穷小 　　D．同阶但不等价的无穷小

　4、设A为m×n矩阵，且r(A)=n，则下列结论不正确的是（ ）

　A．若有B使AB=O，则必有B=O 　　　　　　B．对任何有n行的矩阵B，必有r(AB)=r(B)

　C．必存在n×m矩阵B，使BA=En 　　　　　D．对任何有m列的矩阵B，必有r(BA)=r(B)

　5、下列结论正确的有（ ）

　A．设A为实数域上任一n阶方阵，则AA'为正定矩阵

　B．n阶方阵A正定的充分必要条件是存在方阵C，使A=CC'

　C．正交矩阵的乘积与逆均为正交矩阵

　D．正定矩阵的乘积依然是正定矩阵

　6、设随机变量X服从正态分布N(0,1)，Y=2X²+X+3，则X与Y的相关系数为（ ）

　A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D．－1

三、（本题满分8分）

　　设函数f在x=0的某邻域内二阶可导，且，求及 。

四、（本题满分12分）

　　设，且，求。

五、（本题满分12分）

　　设函数f(x)连续，且f(0)=1，已知求F"(0).

六、（本题满分12分）

　　求证：ln(1+x)>xln2(0<x<1).

七、（本题满分12分）

　　设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f(a)=f(b)=，试证至少存在一点使

八、（本题满分10分）

　　判别级数的敛散性。

九、（本题满分8分）

　　假设β₀是线性方程组Ax=b的一个解向量，其中b≠0，α₁,α₂…α_n-r是Ax=0的基础解系，则β₀，β_i=β₀+α_i，i=1，2…n-r是成性方程组Ax=b的n-r+1个线性无关的解向量且Ax=b的任意解向量β可表示β=k₀β₀+k₁β₁+…+k_n-rβ_n-r其中

十、（本题满分10分）

　　设有3元实二次型

　　（1）记，求正交变换x=Py，
　　　　 将二次型化为标准形；

　　（2）问a取何值时，二次型f为正定二次型？此时，并求可逆变换x=Cy，将二次型f化为规范形。

十一、（本题满分9分）

　　　有3只球、4个盒子，盒子的编号为1，2，3，4，现将球逐个随机放入4个盒子中去，以X表示其中至少有一只球的盒子的最小号码，试求X的数学期望。

十二、（本题满分9分）

　　　设总体X的概率密度为，为参数，为简单随机样本，

　　　（1）求的极大似然估计量；

　　　（2）该估计量是否为无偏估计量？说明理由。